微分方程式 dy/dx = ((2y + 3)/(4x + 5))^2 を解き、一般解を陰関数の形で与えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   解法を選ぶ前に変数分離できるか確認する。 商を 2 乗しても $y$ の部分と $x$ の部分は別々の因子のままである。

   $\frac{dy}{dx}=\frac{(2y+3)^{2}}{(4x+5)^{2}},$

   これはまさに $y'=g(y)h(x)$ の形である。積分因子は不要であり、$y$ について線形ではないので、線形 ODE の道具立てをここで使おうとしても失敗する。

2. 2

   変数を分離する。 $(2y+3)^{2}$ で割り、$dx$ を掛ける。

   $\frac{dy}{(2y+3)^{2}}=\frac{dx}{(4x+5)^{2}}.$

   $(2y+3)^{2}$ で割ると定数解 $y=-\tfrac32$ が失われる。これはもとの方程式を確かに満たす（$y'=0$ で右辺も $0$）。一般の解の族の外にある特異解なので、ここで書き留めておく。

3. 3

   置換 $u=2y+3$ で $y$ 側を積分する。 $du=2\,dy$ なので $dy=\tfrac{du}{2}$ であり

   $\int\frac{dy}{(2y+3)^{2}}=\frac12\int u^{-2}\,du=-\frac{1}{2u}=-\frac{1}{2(2y+3)}.$

   となる。因子 $\tfrac12$ は連鎖律から出るもので、これを忘れるのが 1 次式の置換積分でいちばん多い誤りである。

4. 4

   $v=4x+5$ として $x$ 側も同様に積分する。 ここでは $dv=4\,dx$ なので

   $\int\frac{dx}{(4x+5)^{2}}=\frac14\int v^{-2}\,dv=-\frac{1}{4v}=-\frac{1}{4(4x+5)}.$

   となる。前に付く定数が $\tfrac14$ なのは内側の微分が $4$ だからであり、$\int f(ax+b)\,dx=\tfrac1a F(ax+b)$ という型どおりである。

5. 5

   まとめて定数を吸収する。 2 つの原始関数を等しいとおき、任意定数を 1 つ加えると

   $-\frac{1}{2(2y+3)}=-\frac{1}{4(4x+5)}+C.$

   となる。$-2$ を掛けて定数を置き直すと、より整った陰関数の形

   $\frac{1}{2y+3}=\frac{1}{8x+10}+C,$

   が得られる。$\dfrac{2}{4(4x+5)}=\dfrac{1}{2(4x+5)}=\dfrac{1}{8x+10}$ だからである。

6. 6

   陰関数の微分で検証する。 $\frac{1}{2y+3}=\frac{1}{8x+10}+C$ を $x$ で微分すると

   $-\frac{2y'}{(2y+3)^{2}}=-\frac{8}{(8x+10)^{2}}=-\frac{8}{4(4x+5)^{2}},$

   となるので $y'=\frac{(2y+3)^{2}}{(4x+5)^{2}}$ ✓ である。$C=0.3$、$x=1$ での数値確認では、陰関数の解から $y'=0.09765625$、右辺からも $0.09765625$ が得られる。