x² × e^(−x²) の x についての不定積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   $x^{2}$を分けて、$x$を1つ指数関数の側に回す。 $xe^{-x^{2}}$には初等的な原始関数がある（内側の導関数が$-2x$だから）が、$e^{-x^{2}}$単独にはない。そこで

   $u=x,\qquad dv=xe^{-x^{2}}\,dx.$

   と取る。逆に$dv=e^{-x^{2}}dx$と分けると即座に行き詰まる——この組ませ方こそがこの問題の技巧のすべてである。

2. 2

   置換で$v$を求める。 $t=-x^{2}$、$dt=-2x\,dx$として：

   $v=\int xe^{-x^{2}}dx=-\frac12\int e^{t}\,dt=-\frac12 e^{-x^{2}}.$

   また$du=dx$である。$-\tfrac12$は置換の$\frac{1}{-2}$から来ており、最後まで持ち歩かなければならない。

3. 3

   部分積分を適用する。 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$を使うと：

   $\int x^{2}e^{-x^{2}}dx=x\left(-\frac12 e^{-x^{2}}\right)-\int\left(-\frac12 e^{-x^{2}}\right)dx=-\frac{x}{2}e^{-x^{2}}+\frac12\int e^{-x^{2}}dx.$

   残った積分はガウス型であり、出発点より簡単になっている。これが組ませ方の選択が正しかったことの証拠である。

4. 4

   ガウス型を誤差関数で表す。 $\int e^{-x^{2}}dx$には初等的な原始関数が存在しない。誤差関数はまさにそれに名前を与えるために定義されている：

   $\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt\;\Longrightarrow\;\int e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x)+C.$

5. 5

   組み立てて検証する。 代入して戻すと、

   $\int x^{2}e^{-x^{2}}dx=-\frac{x}{2}e^{-x^{2}}+\frac{\sqrt{\pi}}{4}\operatorname{erf}(x)+C.$

   微分すると$-\tfrac12 e^{-x^{2}}+x^{2}e^{-x^{2}}+\tfrac{\sqrt{\pi}}{4}\cdot\tfrac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^{2}}=x^{2}e^{-x^{2}}$ ✓——2つの半端な項がちょうど打ち消し合う。$x=0.9$での数値確認ではどちらも$0.3603350$になる ✓。おまけとして、$\operatorname{erf}(\infty)=1$かつ第1項が消えることから$\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-x^{2}}dx=\tfrac{\sqrt{\pi}}{4}$が従う。