x→0 のときの (tan x − sin x) / x^2 の極限を求めよ。

Step-by-step solution

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   $\tan x$ と $\sin x$ を別々に $x$ で置き換えてはいけない。 どちらも $0$ の近くで $x$ と同値なので、この近道は分子を $x-x=0$ とし、答えを $0$ としてしまう——ただし理由が誤っている。同値な無限小は積と商でなら置き換えてよいが、主要項が打ち消し合う差では決して置き換えてはならない。まず分子の本当の大きさを求めなければならない。

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   分子から $\sin x$ をくくり出す。 $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ と書くと

   $\tan x-\sin x=\sin x\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)=\sin x\cdot\frac{1-\cos x}{\cos x}$

   となる。この厳密な書き換えによって、危険な差がよく知られた 3 つの因子の積に置き換わる。

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   商を標準的な極限に分解する。 $x^2=x\cdot x$ で割り、各因子に $x$ を 1 つずつ組み合わせると

   $\frac{\tan x-\sin x}{x^2}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1-\cos x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}$

   となる。これで各因子は教科書どおりの極限になり、3 つとも収束するので極限の積の法則が使える。

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   3 つの因子を評価する。

   $\frac{\sin x}{x}\to 1,\qquad \frac{1-\cos x}{x}\to 0,\qquad \frac{1}{\cos x}\to 1$

   決め手は真ん中の因子である。$1-\cos x\approx\tfrac{x^2}{2}$ なので、$x$ を 1 つだけ割っても 0 に収束するものが残る。

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   極限を掛け合わせる。

   $1\cdot 0\cdot 1=0$

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   テイラー展開で検算する。 $\tan x=x+\tfrac{x^3}{3}+O(x^5)$ と $\sin x=x-\tfrac{x^3}{6}+O(x^5)$ より、差は $\tfrac{x^3}{3}+\tfrac{x^3}{6}=\tfrac{x^3}{2}$ である。$x^2$ で割ると $\tfrac{x}{2}\to 0$ が残る。数値でも商は $x=0.1$ で $0.0501$、$x=0.01$ で $0.0050$ となり、毎回 10 分の 1 に縮んでいて、ちょうど $x/2$ のとおりである。