M, Pg, Pv, t, b を定数とみなして、V = 1000M(Pg - Pa) / [Pg(Pv - Pa)(1 + (t - 20)b)] の Pa についての偏微分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   $P_a$ を含まないものをすべてくくり出す。 $P_a$ を含む因子は分子に 1 つ、分母に 1 つの計 2 つだけである。定数

   $C=\frac{1000M}{P_g\bigl(1+(t-20)b\bigr)},$

   を定義すると

   $V=C\cdot\frac{P_g-P_a}{P_v-P_a}.$

   となる。先に $C$ を分離しておくことで、積と商が絡み合った微分ではなく、商の微分法 1 回で済む。

2. 2

   残った比に商の微分法を適用する。 $f=P_g-P_a$、$g=P_v-P_a$ とおくと、どちらの微分も $-1$ である。

   $\frac{\partial}{\partial P_a}\frac{f}{g}=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}=\frac{-(P_v-P_a)+(P_g-P_a)}{(P_v-P_a)^{2}}.$

3. 3

   分子を簡単にする。 2 つの $P_a$ の項が打ち消し合う。

   $-(P_v-P_a)+(P_g-P_a)=-P_v+P_a+P_g-P_a=P_g-P_v.$

   したがって比の微分は $\dfrac{P_g-P_v}{(P_v-P_a)^{2}}$、すなわち定数の分子を 2 乗で割った形になる。この打ち消しこそ、答えがこれほど簡潔になる理由である。

4. 4

   定数の因子を戻す。

   $\frac{\partial V}{\partial P_a}=\frac{1000M\,(P_g-P_v)}{P_g\bigl(1+(t-20)b\bigr)\,(P_v-P_a)^{2}}.$

5. 5

   符号と特別な場合を確かめる。 分母 $(P_v-P_a)^{2}$ は正なので、$\partial V/\partial P_a$ の符号は $P_g$ が $P_v$ を上回るかどうかだけで一度に決まり、$P_a$ が変わっても変化しない。また $P_g=P_v$ なら微分は恒等的に 0 になるが、これは正しい。そのとき $V=C$ は $P_a$ によらない定数だからである。