x × (sin2x − sinx) の 0 から π までの積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   線形性で分ける。 どちらも多項式と三角関数の積であり、部分積分の典型的な形である：

   $\int_{0}^{\pi}x\sin2x\,dx-\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx$

   いずれも$u=x$（微分すると$1$になって消える側）、$dv$を正弦の部分と選ぶ。

2. 2

   1つ目の積分：$\displaystyle\int x\sin2x\,dx$。 $u=x$、$dv=\sin2x\,dx$なので$du=dx$、$v=-\tfrac12\cos2x$となり：

   $\int x\sin2x\,dx=-\frac{x}{2}\cos2x+\frac12\int\cos2x\,dx=-\frac{x}{2}\cos2x+\frac14\sin2x$

   内側から出る$\tfrac12$は$2x$に対する合成関数の微分法によるもので、ここで最も落としやすい。

3. 3

   1つ目の積分を$[0,\pi]$で評価する。 $x=\pi$では$\cos2\pi=1$、$\sin2\pi=0$なので$-\tfrac{\pi}{2}$になる。$x=0$では両方の項が消える。よって

   $\int_{0}^{\pi}x\sin2x\,dx=-\frac{\pi}{2}$

   シンプソンの公式による数値積分は$-1.5707963$を返し ✓、$-\tfrac\pi2$と一致する。

4. 4

   2つ目の積分：$\displaystyle\int x\sin x\,dx$。 $u=x$、$dv=\sin x\,dx$なので$v=-\cos x$となり：

   $\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\int\cos x\,dx=-x\cos x+\sin x$

   $x=\pi$では$-\pi(-1)+0=\pi$、$x=0$では$0$である。よって$\displaystyle\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx=\pi$であり、数値的にも$3.1415927$と確認できる ✓。

5. 5

   引き算して仕上げる。

   $-\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{3\pi}{2}\approx-4.712389$

   もとの被積分関数に直接シンプソンの公式を適用すると$-4.71238898$となり ✓、小数第8位まで一致する。

6. 6

   符号を検算する。 $(0,\pi)$では$-x\sin x$の項は終始負である。一方$x\sin2x$は$\left(0,\tfrac\pi2\right)$で正の山を、$\left(\tfrac\pi2,\pi\right)$でより大きな負の山を作る——後者が大きいのは重み$x$がそこでより大きいからである。したがってどちらの部分も全体を負の側へ引っ張っており、$-\tfrac{3\pi}{2}$という結果と整合する。