f(x, y, z) = 3x⁴yz³ の勾配の、直交座標の単位ベクトル i、j、k 方向の成分を求めよ。

Step-by-step solution

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   「$\mathbf{i}$ 方向の成分」の意味を押さえる。 単位ベクトル $\mathbf{u}$ に対して $\nabla f$ の $\mathbf{u}$ 方向の成分は $\nabla f\cdot\mathbf{u}$ であり、これは方向微分係数 $D_{\mathbf{u}}f$ でもある。$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ は座標軸そのものなので、この 3 つの内積は 3 つの偏導関数にほかならない：

   $\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}.$

   つまり内積を計算する必要はなく、問題は 1 変数の微分 3 つに帰着する。

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   $y$ と $z$ を固定して $x$ で微分する。 ここでは因子 $3yz^{3}$ が定数なので、微分されるのは $x^{4}$ だけである：

   $\frac{\partial f}{\partial x}=3yz^{3}\cdot 4x^{3}=12x^{3}yz^{3}.$

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   $y$ で微分する。 今度は $3x^{4}z^{3}$ が定数で、$y$ は 1 乗で現れるのでその微分は $1$ である：

   $\frac{\partial f}{\partial y}=3x^{4}z^{3}.$

   $y$ が完全に消えることに注目したい——$f$ が $y$ について 1 次だったので、これは有用な確認になる。

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   $z$ で微分する。 $3x^{4}y$ を固定して $z^{3}$ にべき乗の公式を当てると：

   $\frac{\partial f}{\partial z}=3x^{4}y\cdot 3z^{2}=9x^{4}yz^{2}.$

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   勾配を組み立て、整合性で検証する。 3 つの結果をまとめると

   $\nabla f=\langle 12x^{3}yz^{3},\;3x^{4}z^{3},\;9x^{4}yz^{2}\rangle.$

   どの成分も全次数が $7$ で、微分した変数についてだけ次数が 1 下がっている。次数 $8$ の単項式なら当然そうなる。同じことだが $x f_x + y f_y + z f_z = (4+1+3)f = 8f$ が成り立ち、これは次数 $8$ の同次関数に対するオイラーの恒等式である。