x が無限大に近づくときの ((x + 3)/(x - 1)) の (x + 3) 乗の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   形を見きわめる。 底は $1$ に近づき（分子も分母も $x$ のように増大する）、指数は $\infty$ に発散する。これが不定形 $1^{\infty}$ であり、2 つの極限を別々に代入して求めることはできない。

2. 2

   底を 1 と小さい項の和に書き換える。 分母で割り切ってしまう。

   $\frac{x+3}{x-1}=\frac{(x-1)+4}{x-1}=1+\frac{4}{x-1}.$

   この形にすることで、標準の極限 $\left(1+\tfrac1u\right)^{u}\to e$ に対応づけられる。

3. 3

   u = x - 1 と置換して形をぴったり合わせる。 $x\to\infty$ のとき $u\to\infty$ であり、指数は $x+3=u+4$ となる。

   $\left(1+\frac{4}{u}\right)^{u+4}=\left[\left(1+\frac{4}{u}\right)^{u}\right]\cdot\left(1+\frac{4}{u}\right)^{4}.$

4. 4

   2 つの極限を別々にとる。 角括弧の部分は $a=4$ の標準の極限であり

   $\left(1+\frac{4}{u}\right)^{u}\longrightarrow e^{4},$

   となる。一方、後ろの因子は $\left(1+\tfrac4u\right)^{4}\to 1^{4}=1$ である。したがって、もとの指数にある $+3$ は答えに影響しない——効くのは主要な $x$ だけである。

5. 5

   まとめる。

   $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^{x+3}=e^{4}\cdot 1=e^{4}\approx 54.598.$

6. 6

   数値で確認する。 $x=10^{6}$ で式の値は $54.59859$ となり、$e^{4}=54.59815$ と有効数字 4 桁まで一致する。わずかな差は予想どおり $1/x$ のように縮んでいく。