x → 0 のときの (1 − cos x)/(1 − e^x) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   形が$\tfrac{0}{0}$であることを確認する。 $x=0$では$1-\cos 0=0$、$1-e^{0}=0$でどちらも消える。よって商は不定形であり、そのままでは決まらない——「どちらも同時に0になるから」という理由で$1$と答えたくなるのはよくある誤りだが、そうはならない。両者は異なる速さで消えるからである。

2. 2

   マクローリン展開で消え方の速さを比べる。 それぞれ主要項を残すと：

   $1-\cos x=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+\cdots,\qquad 1-e^{x}=-x-\frac{x^2}{2}-\cdots$

   分子は$x$の2次、分母は1次でしかない。この食い違いだけで極限が$0$だと分かる。

3. 3

   主要な振る舞いどうしを割る。

   $\frac{1-\cos x}{1-e^{x}}=\frac{\frac{x^2}{2}\left(1-\frac{x^2}{12}+\cdots\right)}{-x\left(1+\frac{x}{2}+\cdots\right)}=-\frac{x}{2}\cdot\frac{1+O\!\left(x^2\right)}{1+O(x)}\longrightarrow 0$

   括弧でくくった因子はどちらも$1$に近づくので、全体は$0$の近くで$-\tfrac{x}{2}$のように振る舞う。

4. 4

   ロピタルの定理で確かめる。 分子と分母を1回ずつ微分すると：

   $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{-e^{x}}=\frac{0}{-1}=0$

   ここでは1回の適用で十分である。微分後の形は$\tfrac{0}{-1}$で確定形になっているからである。もう一度この定理を使うのは誤りであり、この定理は形が不定形であるあいだにしか適用できない。

5. 5

   両側からの振る舞いを数値で確認する。 $x=10^{-3}$では商は$-0.00049975$、$x=10^{-5}$では$-5.00\times 10^{-6}$、$x=-10^{-5}$では$+5.00\times 10^{-6}$である。値は反対側から$0$に近づいており、1次近似$-\tfrac{x}{2}$と整合する。よって両側極限は

   $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{1-e^{x}}=0$