0 ≤ x ≤ 2π、0 ≤ y ≤ 2、0 ≤ z ≤ x² で定まる領域上で、yz の三重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   どの変数が内側の限界を支配しているかに注目する。 $z$ の範囲は $0$ から $x^2$ までで、$y$ ではなく 最も外側 の変数 $x$ に依存している。これは許される形であり、内側の積分さえ済ませれば $y$ の積分は $z$ とは独立に行えることを意味する。

2. 2

   y を定数扱いして z について積分する。

   $\int_0^{x^2} yz\,dz = y\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^{x^2} = y \cdot \frac{(x^2)^2}{2} = \frac{x^4 y}{2}$

   上端を 2 乗すると $x^2$ ではなく $x^4$ になる。最終的な $\pi$ のべきはこの段階で決まる。

3. 3

   y について 0 から 2 まで積分する。 ここでは $x^4/2$ が定数である。

   $\int_0^2 \frac{x^4 y}{2}\,dy = \frac{x^4}{2}\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{2} = \frac{x^4}{2}\cdot 2 = x^4$

4. 4

   x について 0 から 2π まで積分する。

   $\int_0^{2\pi} x^4\,dx = \left[\frac{x^5}{5}\right]_0^{2\pi} = \frac{(2\pi)^5}{5}$

5. 5

   べきを整理する。 $(2\pi)^5 = 2^5\pi^5 = 32\pi^5$ なので

   $\iiint yz\,dV = \frac{32\pi^5}{5} \approx 1958.53$

   $2^5 = 32$ は必ず展開しなければならない。$2\pi^5/5$ と書いてしまうと $32$ 倍だけずれる。なおここでの $\pi$ は三角関数としての役割をもたず、単に数値としての上端 $2\pi \approx 6.2832$ にすぎない。