(cos x − cos³x)/x² を簡単にし、x → 0 のときの極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   形を確認する。 $x=0$では分子が$1-1=0$、分母が$0$なので、商は$\tfrac00$——不定形であり、極限を読み取る前に何らかの簡約が必要である。

2. 2

   分子を因数分解する。 2つの項は$\cos x$という因子を共有している：

   $\cos x-\cos^{3}x=\cos x\left(1-\cos^{2}x\right).$

   共通因子をくくり出すことで、括弧の中に隠れていた三平方の恒等式が姿を現す。

3. 3

   三平方の恒等式を適用する。 $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$から$1-\cos^{2}x=\sin^{2}x$なので、

   $\cos x-\cos^{3}x=\cos x\,\sin^{2}x,$

   となり、式全体は$\dfrac{\cos x\sin^{2}x}{x^{2}}$になる。分母の$x^{2}$には$\sin^{2}x$という明らかな相方ができた。

4. 4

   標準的な部品に分ける。 $\sin^{2}x$を$x^{2}$と組にすると：

   $\frac{\cos x-\cos^{3}x}{x^{2}}=\cos x\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}.$

   これが簡約した形であり、$x\ne 0$のすべてで有効で、しかも$0$での極限が既知の量だけでできている。

5. 5

   極限を取る。 $\lim_{x\to0}\cos x=1$と基本極限$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$を、積とべきの法則と合わせて使うと：

   $\lim_{x\to0}\frac{\cos x-\cos^{3}x}{x^{2}}=1\cdot 1^{2}=1.$

   数値による確認：$x=0.1$では商は$0.99169$、$x=0.01$では$0.999917$、$x=0.001$では$0.99999917$ ✓——$\cos x<1$から予想されるとおり、下から$1$に近づいている。