左端と右端をそれぞれ用い、長方形6個で、f(x) = 2 x の2乗 マイナス x マイナス 1 のグラフと x 軸の間にある、2 から 5 までの部分の面積の近似値を2通り求めよ。

Step-by-step solution

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   この領域が本当に曲線の下の面積であることを確認する。 $[2,5]$ 上で $f$ の零点は $x=1$ と $x=-\tfrac12$ で、どちらも区間より左にあり、$f(2)=5>0$ である。したがって区間全体で $f>0$ であり、長方形はそのまま面積を測ることになる。符号の反転を気にする必要はない。

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   各長方形の幅を求める。 区間を $n$ 等分すると

   $\Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{5-2}{6}=\frac12$

   となるので、分点は $2,\ \tfrac52,\ 3,\ \tfrac72,\ 4,\ \tfrac92,\ 5$ である。

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   すべての分点で $f$ を1回ずつ計算する。 左端和と右端和は同じ7個の値を使い回すので、一度に計算しておけば手間が半分で済む：

   $f(2)=5,\quad f\!\left(\tfrac52\right)=9,\quad f(3)=14,\quad f\!\left(\tfrac72\right)=20,\quad f(4)=27,\quad f\!\left(\tfrac92\right)=35,\quad f(5)=44$

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   最初の6個の値から左端和を作る。 左端の規則では各区間の左端での値を使うので、$f(5)$ は使わない：

   $L_6=\tfrac12\,(5+9+14+20+27+35)=\tfrac12(110)=55$

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   最後の6個の値から右端和を作る。 右端の規則では $f(2)$ を落とし、$f(5)$ を拾う：

   $R_6=\tfrac12\,(9+14+20+27+35+44)=\tfrac12(149)=74.5$

   $R_6-L_6=\tfrac12\big(f(5)-f(2)\big)=\tfrac12(39)=19.5$ となることに注目したい。2つの和は最初と最後の項だけが違う。

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   2つの数を上下からの挟み込みとして読む。 $f$ は $[2,5]$ 上で増加なので、左端の長方形はすべて曲線の下に収まり、右端の長方形はすべてはみ出す。したがって真の面積は $55<A<74.5$ を満たす。厳密に積分すると

   $A=\int_2^5\left(2x^2-x-1\right)dx=\frac{129}{2}=64.5$

   となり、確かにその2つの値の間にある。