x が -2 に近づくときの (x^2 - x - 6)/|x + 2| の極限を求めよ。存在しない場合はそのことを示せ。

Step-by-step solution

1. 1

   形を確認し、分子を因数分解する。 $x=-2$ を代入すると $\frac{4+2-6}{0}=\frac{0}{0}$ となり不定形である。分子を因数分解すると

   $x^{2}-x-6=(x-3)(x+2),$

   となり、式は $\dfrac{(x-3)(x+2)}{|x+2|}$ になる。因子 $(x+2)$ が上にも、絶対値をかぶった形で下にも現れる——これが片側ごとの解析が必要だという合図である。

2. 2

   絶対値があると一度に約分できない理由を理解する。 $t\ne0$ に対して $\frac{t}{|t|}$ は $t>0$ のとき $+1$、$t<0$ のとき $-1$ である。ここでは $t=x+2$ がちょうど極限をとる点で符号を変えるので、$-2$ にどれだけ近づいて見ても商は $+1$ と $-1$ の間で跳ぶ。両側を別々に扱わなければならない。

3. 3

   左側極限を計算する。 $x<-2$ では $x+2<0$ なので $|x+2|=-(x+2)$ であり

   $\frac{(x-3)(x+2)}{-(x+2)}=-(x-3)=3-x\ \longrightarrow\ 3-(-2)=5.$

   したがって $\displaystyle\lim_{x\to-2^{-}}=5$ である。

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   右側極限を計算する。 $x>-2$ では $x+2>0$ なので $|x+2|=x+2$ であり

   $\frac{(x-3)(x+2)}{x+2}=x-3\ \longrightarrow\ -2-3=-5.$

   したがって $\displaystyle\lim_{x\to-2^{+}}=-5$ である。

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   結論し、数値で検算する。 $5\ne-5$ なので片側極限が食い違い、両側極限は存在しない。数値でも $x=-2.001$ で商は $5.001$、$x=-1.999$ で $-4.999$ となる ✓——グラフは $x=-2$ で高さ $10$ のジャンプをもつ。もし分母が $|x+2|$ ではなく $x+2$ であったなら、極限は存在して $-5$ になっていた。