n = 1 から無限大までの n/3^n の級数が収束するか発散するかを判定し、その和を求めよ。

Step-by-step solution

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   項の形に合った判定法を選ぶ。 一般項 $a_n = n/3^n$ は多項式の因子と指数関数の因子が混ざっている。このような項の比は $3^{n+1}/3^n$ が定数に潰れるためきれいに簡単になるので、比判定法が自然な選択である。比較判定法も使えるが、比較する級数をうまく選ぶ必要がある。

2. 2

   隣り合う項の比を作る。 $a_n = \dfrac{n}{3^n}$、$a_{n+1} = \dfrac{n+1}{3^{n+1}}$ とすると：

   $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n} = \frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{3}$

   項はすべて正なので、絶対値をとっても何も変わらない。

3. 3

   極限をとって判定法を適用する。 $\dfrac{n+1}{n} = 1 + \dfrac{1}{n} \to 1$ なので、

   $L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1}{3}$

   となる。$L = \tfrac13 < 1$ なので、比判定法によりこの級数は絶対収束する。多項式の因子 $n$ は極限に影響しないことに注意したい。指数的な減衰はつねに多項式的な増大に勝つ。

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   等差×等比の公式から厳密な和を求める。 収束することだけでは値は出ないが、この級数は定番のものである。等比級数 $\sum_{n\ge0} r^n = \dfrac{1}{1-r}$ を微分して $r$ を掛けると、$|r|<1$ に対して

   $\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n} = \frac{r}{(1-r)^2}$

   が得られる。

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   $r = 1/3$ を代入する。 $\dfrac{n}{3^n} = n\left(\dfrac13\right)^{n}$ と書くと：

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n} = \frac{\tfrac13}{\left(1-\tfrac13\right)^2} = \frac{\tfrac13}{\tfrac49} = \frac13\cdot\frac94 = \frac34$

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   数値で確かめる。 はじめの数項を足すと $0.3333 + 0.2222 + 0.1111 + 0.0494 + 0.0206 + \cdots$ となり、部分和は $0.75000$ まで上がってそこに落ち着く。厳密値 $3/4$ と一致する。