y = (1/4)x¹² + 3x⁶ − x + 10 の導関数を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   分数の係数を慎重に扱う。 べき乗の公式は係数に指数を掛けるので、$\frac14$ はそのまま残らない：$\left(\frac14 x^{12}\right)^{\prime}=\frac14\cdot 12x^{11}=3x^{11}.$ 残りを微分する前に $\frac{12}{4}=3$ と書いてしまえば、$\frac14$ を前に残したままにするありがちな誤りを避けられる。

2. 2

   第 2 項を微分する。 $\left(3x^{6}\right)^{\prime}=3\cdot 6x^{5}=18x^{5}.$

3. 3

   1 次の項と定数項を微分する。 1 次の項の傾きは一定で $(-x)^{\prime}=-1$、定数の微分はすべて 0 で $(10)^{\prime}=0$ である。したがって定数 $10$ は答えに痕跡を残さない。最終的な式に $+0$ を書くべきでないのはそのためである。

4. 4

   部品を合わせる。 $y^{\prime}=3x^{11}+18x^{5}-1 .$

5. 5

   次数で検算する。 微分は各項の次数をちょうど 1 だけ下げる：$12\to 11$、$6\to 5$、$1\to 0$、$0\to$ 消滅。結果の次数は $11$ で、もとの次数 $12$ より 1 小さく、そうでなければならない。