(y′)² − 4x²y′ + 4x⁴ − x² を整理して因数分解し、その因数分解を使ってこの式を 0 とおいた微分方程式を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   $y'$ を変数とみなし、完全平方を読み取る。 前の 3 項をまとめると

   $(y')^2-4x^2y'+4x^4=(y'-2x^2)^2$

   となる。$2\cdot y'\cdot 2x^2=4x^2y'$、$(2x^2)^2=4x^4$ だからである。残る項は $-x^2$ だけである。

2. 2

   平方の差だと見抜く。 式はいま

   $(y'-2x^2)^2-x^2=\bigl(y'-2x^2-x\bigr)\bigl(y'-2x^2+x\bigr)$

   となる。$A=y'-2x^2$、$B=x$ として $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ を使った。

3. 3

   展開して因数分解を検証する。 展開すると $(y'-2x^2)^2-x^2=(y')^2-4x^2y'+4x^4-x^2$ となり、もとの式に戻る。$y'=1.4$、$x=0.7$ での数値の抜き取り検査でも、両辺とも $-0.3136$ になる。

4. 4

   各因数を 0 とおいて微分方程式を分ける。 積が 0 になるのはいずれかの因数が 0 のときなので、1 つの 2 次の常微分方程式は 2 つの簡単なものに分かれる：

   $y'=2x^2+x\qquad\text{または}\qquad y'=2x^2-x$

5. 5

   それぞれの分岐を積分する。

   $y=\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C\qquad\text{または}\qquad y=\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+C$

   予想どおり 1 パラメータの族が 2 つ得られる。方程式は $y'$ について 2 次なので、各点で許される傾きが 2 つあるのである。

6. 6

   一方の解をもとの方程式に戻して確かめる。 $y=\tfrac{2x^3}{3}+\tfrac{x^2}{2}$ では $y'=2x^2+x$ なので $y'-2x^2=x$ であり、

   $(y'-2x^2)^2-x^2=x^2-x^2=0\ \checkmark$

   となる。$y'-2x^2=-x$ としても同じ議論でもう一方の族が確かめられる。