f を 0 から π/2 までの閉区間上の正の連続関数とし、e の f(x) 乗 × sin x × ln f(x) の積分と、e の f(x) 乗 × cos x × ln f(x) の積分がともに 0 であるとする。開区間内に f(x₁) = 1 となる点 x₁ が存在することを証明せよ。

Step-by-step solution

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   目標を $\ln f$ の言葉に言い換える。 $f>0$ なので合成 $g(x)=\ln f(x)$ は区間全体で定義され連続であり

   $f(x_1)=1\iff g(x_1)=0.$

   が成り立つ。したがって主張は、$g$ が $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ に零点をもつ、ということになる。「値 $1$ をとる」という主張を「根をもつ」という主張に変えることが、中間値の定理を使えるようにする鍵である。

2. 2

   重みの符号を確かめる。 開区間 $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ では $\sin x>0$ であり、指数関数は常に正なので $e^{f(x)}>0$ もいたるところ成り立つ。したがって重み

   $w(x)=e^{f(x)}\sin x$

   は $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ で厳密に正であり、被積分関数 $w(x)g(x)$ の符号は完全に $g$ によって決まる。

3. 3

   中間値の定理を使って背理法で議論する。 $g$ が $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ に零点をもたないと仮定する。区間上で零点をもたない連続関数は符号を変えられない——正の値と負の値をともにとれば、中間値の定理によりその間に零点が生じてしまうからである。よって区間全体で $g>0$ か、区間全体で $g<0$ のいずれかである。

4. 4

   $I_1=0$ から矛盾を導く。 前者の場合、開区間で $w g>0$ なので連続な被積分関数はそこで厳密に正であり

   $I_1=\int_0^{\pi/2}w(x)g(x)\,dx>0.$

   となる。後者の場合、同じ議論で $I_1<0$ となる。いずれにせよ $I_1\ne0$ となり仮定に反する。したがって $g$ は $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ のどこかで 0 にならねばならず、ある $x_1$ について $f(x_1)=1$ である。$\blacksquare$

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   2 つ目の仮定の役割に触れる。 この証明が使ったのは $I_1=0$ だけであり、条件 $I_2=0$ は一度も必要にならなかった。$\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ では $\cos x>0$ なので、$I_2$ もまったく同じ情報を担っているからである。どちらか一方の積分だけで結論は導かれる。本当に効いているのは、重みが開区間で符号を保つという点である。$\sin x$ を、$\pi/4$ で符号を変える $\cos 2x$ に置き換えると議論は崩れる。定数関数 $f\equiv e$ をとれば $\int_0^{\pi/2}e^{e}\cos 2x\,dx=0$ となるが、$f$ は $1$ にまったく到達しない。