導関数の定義（極限）を用いて、2x³ − 1 の導関数が 6x² であることを示せ。

Step-by-step solution

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   定義を書き下す。 $f(x)=2x^3-1$ に対して導関数は $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ である。証明全体は、この商を $h\to 0$ が単なる代入で済むところまで簡単にする作業に尽きる。

2. 2

   $f(x+h)$ を展開する。 $(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3$ を使うと $f(x+h)=2x^3+6x^2h+6xh^2+2h^3-1$ が得られる。

3. 3

   $f(x)$ を引く。 $2x^3$ と $-1$ が打ち消し合い、$f(x+h)-f(x)=6x^2h+6xh^2+2h^3$ が残る。残った項はどれも $h$ の因子を少なくとも 1 つ持っており、それが商を有限に保つ。

4. 4

   $h$ で割る。 $h$ をくくり出すと $\frac{h\left(6x^2+6xh+2h^2\right)}{h}=6x^2+6xh+2h^2$ となり、$h\neq 0$ であるかぎり成り立つ——極限に必要なのはそれだけである。

5. 5

   極限をとる。 残った式は $h$ の多項式なので代入してよい：$\lim_{h\to 0}\left(6x^2+6xh+2h^2\right)=6x^2$。

6. 6

   結論を述べる。 よって $\frac{d}{dx}(2x^3-1)=6x^2$ であり、これはべき乗の微分公式と一致し、加えられた定数 $-1$ が何も寄与しないことも確かめられた。