y = x の 2 乗を微分せよ。

Step-by-step solution

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   べき乗の公式を正確に述べる。 定数の指数 $n$ に対して

   $\frac{d}{dx}\left(x^n\right)=nx^{n-1}$

   が成り立つ。ここでは 2 つのことが同時に起こる。もとの指数が前に下りて掛け算の係数になり、指数自体は 1 だけ下がる。

2. 2

   指数を確認する。 $y=x^2$ では $n=2$ である。運ぶべき係数はなく、底が単に $x$ なので合成関数の微分も要らない。

3. 3

   公式を当てる。

   $\frac{dy}{dx}=2x^{2-1}=2x^1=2x$

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   公式を丸暗記にしないため、定義から確かめる。 差分商は

   $\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$

   であり、$h\to 0$ とすると $2x$ になる——べき乗の公式を仮定せずに、同じ答えが得られた。

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   グラフから意味を読む。 導関数 $2x$ は放物線の傾きである。$x=3$ では接線の傾きが $6$、$x=0$ では平ら（頂点）、$x<0$ では傾きが負になる。つまり原点から離れるほど、急さは 1 次の速さで増していく。