x → 2 のときの (√(3x − 2) − 2) を (√x − √2) で割ったものの極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   不定形であることを確認する。 $x=2$では分子が$\sqrt{6-2}-2 = 2-2 = 0$、分母が$\sqrt2-\sqrt2 = 0$なので$\tfrac00$であり、直接代入は失敗する。

2. 2

   t = √x と置換して分母を1次式にする。 $x=t^2$、$t\to\sqrt2$として、$\lim_{t\to\sqrt2}\frac{\sqrt{3t^2-2}-2}{t-\sqrt2}.$

   $t-c$という形の1次の分母は、微分係数の目印である。

3. 3

   差分商として見抜く。 $f(t)=\sqrt{3t^2-2}$とおくと$f(\sqrt2)=\sqrt{6-2}=2$なので、この式はまさに$\frac{f(t)-f(\sqrt2)}{t-\sqrt2} \longrightarrow f'(\sqrt2)$である。

4. 4

   合成関数の微分法で微分する。 $f'(t) = \frac{1}{2}(3t^2-2)^{-1/2}\cdot 6t = \frac{3t}{\sqrt{3t^2-2}}.$

5. 5

   t = √2 で導関数を評価する。 $f'(\sqrt2) = \frac{3\sqrt2}{\sqrt{3\cdot2-2}} = \frac{3\sqrt2}{2} \approx 2.121320.$

6. 6

   有理化による別解で検算する。 $\dfrac{\sqrt{3x-2}+2}{\sqrt{3x-2}+2}\cdot\dfrac{\sqrt x+\sqrt2}{\sqrt x+\sqrt2}$をかけると商は$\dfrac{3(x-2)}{x-2}\cdot\dfrac{\sqrt x+\sqrt2}{\sqrt{3x-2}+2}$になり、$x=2$では$3\cdot\dfrac{2\sqrt2}{4} = \dfrac{3\sqrt2}{2}$——同じ値である。もとの式を$x=2.000001$で評価すると$2.1213202$となり、数値でも裏づけられる。