(x⁴ − 3x² + 5)/x の x についての不定積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   置換積分に手を伸ばさない。 分母が単項式1つだけなら分数はきれいに分かれるので、先に分けてしまえば扱いにくい商1つが標準的な積分3つに変わる。ここでは置換積分も部分積分も労力の無駄である。

2. 2

   分子の各項を$x$で割る。 $\frac{x^4-3x^2+5}{x}=\frac{x^4}{x}-\frac{3x^2}{x}+\frac5x=x^3-3x+\frac5x.$

3. 3

   多項式の部分にべき乗則を適用する。 $\displaystyle\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}$、$\displaystyle\int -3x\,dx=-\frac{3x^2}{2}$である。

4. 4

   $5/x$の項は対数の公式で処理する。 べき乗則は指数$-1$で破綻するので、代わりに$\displaystyle\int\frac5x\,dx=5\ln|x|$とする。もとの被積分関数が負の$x$でも定義されているため、絶対値が重要になる。

5. 5

   まとめて微分で検証する。 $\int\frac{x^4-3x^2+5}{x}\,dx=\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+5\ln|x|+C.$微分すると$x^3-3x+\frac5x$となり、これはまさに簡約後の被積分関数なので、答えは正しい。