x → 0+ のときの (x / ((e^x − 1) cos√x)) の 1 / ((1 + sin(x²))^(1/x) − 1) 乗の極限を、e^(1/2)、e^(−1/2)、e、1 から選べ。

Step-by-step solution

1. 1

   不定形を見きわめ、定石の変形を用意する。 底は$1$に近づき指数は限りなく大きくなるので、これは$1^{\infty}$である。$L=\lim u^{v}$とおき、$u\to 1$のとき$\ln u\sim u-1$であることを使って

   $L=\exp\left(\lim v\ln u\right)\approx\exp\left(\lim v(u-1)\right),$

   と書く。あとは$u-1\to 0$の速さが$v\to\infty$の速さとどう釣り合うかだけの問題になる。

2. 2

   指数の分母を展開する。 $x$が小さいとき$\sin x^{2}=x^{2}+O(x^{6})$なので、

   $\left(1+\sin x^{2}\right)^{1/x}=\exp\left(\frac{\ln\left(1+x^{2}+\cdots\right)}{x}\right)=\exp\left(x+O(x^{3})\right)=1+x+O(x^{2}).$

   $1$を引くと$x+O(x^2)$が残るので、指数は

   $v=\frac{1}{x+O(x^{2})}\sim\frac{1}{x}$

   となる。

3. 3

   底を必要な次数まで展開する。 $e^{x}-1=x+\tfrac{x^{2}}{2}+O(x^{3})$と$\cos\sqrt{x}=1-\tfrac{x}{2}+O(x^{2})$を使う。積は

   $\left(x+\tfrac{x^{2}}{2}\right)\left(1-\tfrac{x}{2}\right)=x+\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{x^{2}}{2}+O(x^{3})=x+O(x^{3}).$

   1次の補正どうしがちょうど打ち消し合う——この相殺こそがこの問題の眼目である。

4. 4

   底を作り、1にどれだけ近いかを見る。

   $u=\frac{x}{x+O(x^{3})}=1+O(x^{2}),\qquad\text{よって}\qquad u-1=O(x^{2}).$

5. 5

   指数と底を組み合わせる。

   $v(u-1)=\frac{1}{x}\cdot O\!\left(x^{2}\right)=O(x)\longrightarrow 0,$

   したがって

   $L=e^{0}=1.$

   もしステップ 3 で$x^2$の項が打ち消し合わなければ$u-1$は$x$の order になり、答えは$e^{\pm 1/2}$になっていた——選択肢 (A) と (B) はまさにそれを誘う餌である。

6. 6

   数値で確認する。 もとの式を評価すると$x=0.1$で$1.004211$、$x=0.01$で$1.000417$、$x=0.001$で$1.0000417$、$x=10^{-4}$で$1.0000042$となり、$O(x)$の見積もりどおり$x$に比例して$1$に近づく。答えは**(D)**である。