k を定数として、微分方程式 dy/dx = ky を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   このモデルが何かを見きわめる。 この方程式は、変化の速さが現在の量に比例することを述べている——人口の増加、放射性崩壊、連続複利、ニュートンの冷却法則の背後にある法則である。これを 1 度解けば、そのすべてが解けたことになる。

2. 2

   変数を分離する。 $y$ で割るには $y \ne 0$ が必要であり、この点は覚えておいてあとで立ち返る。

   $\frac{dy}{y} = k\,dx$

3. 3

   両辺を積分する。

   $\int \frac{1}{y}\,dy = \int k\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = kx + C_0$

   絶対値が要るのは、$\tfrac{1}{y}$ の原始関数が 0 の両側で $\ln|y|$ だからである。

4. 4

   指数をとって定数を吸収する。

   $|y| = e^{kx + C_0} = e^{C_0}e^{kx}$

   $A = e^{C_0} > 0$ と書き、$y$ の符号を $C = \pm A$ として担わせると

   $y = Ce^{kx}$

   となる。

5. 5

   除外していた解を回収する。 $y$ で割ったことで $y \equiv 0$ が除外されていたが、この定数関数も方程式を満たす——そしてそれは $C = 0$ で回収される。したがって $C$ を任意の実数としてよいことにすれば、$y = Ce^{kx}$ が何も欠けのない完全な一般解になる。

6. 6

   検証して挙動を読む。 微分すると $y' = Cke^{kx} = k\left(Ce^{kx}\right) = ky$ である。初期条件 $y(0) = y_0$ を与えれば $C = y_0$ となり $y = y_0e^{kx}$ を得る。$k > 0$ なら増加、$k < 0$ なら減衰、$k = 0$ なら定数である。$k > 0$ のときの倍加時間は $\tfrac{\ln 2}{k}$ である。