ln(x) × arctan(x) の x についての不定積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   どちらの因子を微分するかを選ぶ。 $\ln x$も$\tan^{-1}x$も導関数は簡単だが原始関数は厄介である。$u=\ln x$（したがって$du=\frac{dx}{x}$）、$dv=\tan^{-1}(x)\,dx$と取るほうがうまくいく。というのも、出てくる$\frac{1}{x}$が$v$の中の$x$と約分されるからである——残る積分が悪化するのではなく簡単になる、という選び方である。

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   まず部分積分を1回行って$v=\int\tan^{-1}x\,dx$を求める。 $a=\tan^{-1}x$、$db=dx$と取ると：

   $\int\tan^{-1}x\,dx=x\tan^{-1}x-\int\frac{x}{1+x^{2}}dx=x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2}).$

   最後の積分は$u$による置換、すなわち$u=1+x^{2}$とおく置換積分であり、そこから$\tfrac12$が出る。

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   本命の部分積分を実行する。 $u=\ln x$、$v=x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2})$として：

   $\int\ln x\,\tan^{-1}x\,dx=\ln x\left(x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2})\right)-\int\left(x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2})\right)\frac{dx}{x}.$

   積分の中を$x$で割ると

   $\int\ln x\,\tan^{-1}x\,dx=x\ln x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln x\ln(1+x^{2})-\int\tan^{-1}x\,dx+\tfrac12\int\frac{\ln(1+x^{2})}{x}dx.$

   これこそステップ 1 で見込んだ約分である：$x\tan^{-1}x\cdot\frac1x$が$\tan^{-1}x$に潰れ、その積分はすでに求めてある。

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   残った積分を二重対数関数と見抜く。 $\int\frac{\ln(1+x^{2})}{x}dx$には初等的な原始関数が存在しない。$t=-x^{2}$と置換して定義$\operatorname{Li}_{2}(z)=-\int_{0}^{z}\frac{\ln(1-w)}{w}dw$と比べると

   $\int\frac{\ln(1+x^{2})}{x}dx=-\tfrac12\operatorname{Li}_{2}(-x^{2})+C.$

   数値での確認：$-\tfrac12\operatorname{Li}_{2}(-x^{2})$を$x=0.6$で微分すると$0.5124745$、$\frac{\ln(1.36)}{0.6}=0.5124745$である ✓。

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   閉じた形に組み立てる。 ステップ 2 の$\int\tan^{-1}x\,dx$とステップ 4 の二重対数関数を代入すると：

   $\int\ln x\,\tan^{-1}x\,dx=x\ln x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln x\ln(1+x^{2})-x\tan^{-1}x+\tfrac12\ln(1+x^{2})-\tfrac14\operatorname{Li}_{2}(-x^{2})+C.$

   つまり答えは閉じた形で書けるが、それは二重対数関数を認めた場合に限られる——初等関数をどう組み合わせても足りない。

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   数値微分で検証する。 右辺の導関数を中心差分で評価すると、$x=0.5$では$-0.32137603$、これに対し$\ln(0.5)\tan^{-1}(0.5)=-0.32137603$ ✓。$x=0.7$では$-0.21783065$に対して$-0.21783065$ ✓。独立な2点で8桁一致しており、すべての係数が正しいことが確かめられる。