x → 4 のときの (√(x + 5) − 3)/(x − 4) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   本当に 0/0 かを確かめる。 $x=4$では$\sqrt{9}-3=0$、$4-4=0$である。ここでは根号が実際に定数と等しくなるので共役の技巧が効く——分子が0でない値に近づく場合とは違う。

2. 2

   共役をかける。 分子と分母に$\sqrt{x+5}+3$を掛ける。これは$x=4$の近くで決して0にならない。

3. 3

   分子を整理する。 $\left(\sqrt{x+5}\right)^2-3^2=(x+5)-9=x-4$なので、商は$\frac{x-4}{(x-4)\left(\sqrt{x+5}+3\right)}$になる。

4. 4

   約分して簡約する。 $x\neq 4$ではこれは$\frac{1}{\sqrt{x+5}+3}$であり、この関数は$x=4$で連続である。

5. 5

   代入する。 $\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}$。

6. 6

   数値による確認。 もとの式を$x=4+10^{-8}$で評価すると$0.1666667$となり、$\frac{1}{6}$と一致する。