x → −∞ および x → ∞ における f(x) = (−4x³ + 7x + 9)/(8x⁶ − 9x⁴ − 2x) の端での挙動を調べよ。

Step-by-step solution

1. 1

   何よりも先に次数を比べる。 分子の次数は $3$、分母の次数は $6$ である。分母がどれだけでも上回っていれば、商は両端で $0$ に押しつぶされる——低次の項がそれを覆すことはない。

2. 2

   最高次の項だけを残す。 $|x|$ が大きいとき $f(x)\approx\frac{-4x^3}{8x^6}=\frac{-1}{2x^3}.$ きちんと言えば、分子と分母を $x^6$ で割ればよい。分母の定数 $8$ を除き、残るすべての項が $0$ に向かう。

3. 3

   $x\to+\infty$ とする。 このとき $x^3\to+\infty$ なので $\dfrac{-1}{2x^3}\to 0$、しかも負の側から近づく：$f(x)\to 0^{-}$。

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   $x\to-\infty$ とする。 このとき $x^3\to-\infty$ なので $\dfrac{-1}{2x^3}\to 0$、しかも正の側から近づく：$f(x)\to 0^{+}$。

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   結論を述べる。 どちらの極限も $0$ なので、$y=0$ が両側の水平漸近線である。数値では $f(10^{6})\approx-5\times10^{-19}$、$f(-10^{6})\approx+5\times10^{-19}$ となり、符号の分析と合っている。