重積分を使って、y = 4x − x² と直線 y = x の間の領域の面積を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 曲線の交点を求める。 $4x-x^{2}=x$ とおくと $3x-x^{2}=0$、すなわち $x(3-x)=0$ となるので、交わるのは $x=0$ と $x=3$ である。そこでは $y=x$ なので、交点は $(0,0)$ と $(3,3)$ である。この 2 つの値がそのまま外側の積分区間になる。

2. 2

   どちらの曲線が上かを決める。 内部の点で試す。$x=1$ では放物線が $4(1)-1^{2}=3$、直線が $1$ を与える。よって $0<x<3$ の全体で放物線が直線より上にあり、領域は $R=\left\{(x,y):0\le x\le 3,\ x\le y\le 4x-x^{2}\right\}.$ と書ける。

3. 3

   面積を重積分として立てる。 面積は領域上での定数 $1$ の重積分である。上の縦短冊による表し方を使うと $A=\iint_R 1\,dA=\int_{0}^{3}\int_{x}^{4x-x^{2}}1\,dy\,dx .$ となる。

4. 4

   内側の積分を実行する。 $1$ を $y$ について積分することは、短冊の高さを測ることにほかならない： $\int_{x}^{4x-x^{2}}1\,dy=(4x-x^{2})-x=3x-x^{2},$ これは 1 変数の面積問題でおなじみの「上 − 下」の被積分関数である。

5. 5

   外側の積分を実行する。 $A=\int_{0}^{3}\left(3x-x^{2}\right)dx=\left[\frac{3x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\frac{27}{2}-9=\frac{9}{2}.$ 被積分関数 $3x-x^{2}$ は $[0,3]$ で非負なので、面積らしく答えは正になる。