偏微分方程式 dC/dt = D * d2C/dx2 - k*C を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの項に含まれる物理を読む。 $D\,C_{xx}$ は通常の拡散、$-kC$ は 1 次の減衰である。物質は広がりながら、存在量に比例した速さで消えていく。この 2 つの機構は独立なので、解は減衰の部分と拡散の部分の積に分かれるはずだと見当が付く。

2. 2

   減衰を剥がす置換を行う。 次のようにおく。

   $C(x,t)=e^{-kt}u(x,t)$

   すると指数関数は $x$ に依存しないので $C_{t}=e^{-kt}\left(u_{t}-ku\right)$、$C_{xx}=e^{-kt}u_{xx}$ となる。

3. 3

   代入して約分する。 方程式は

   $e^{-kt}\left(u_{t}-ku\right)=De^{-kt}u_{xx}-ke^{-kt}u$

   になる。$e^{-kt}$（決して 0 にならない）で割ると $u_{t}-ku=Du_{xx}-ku$ となり、両辺の $-ku$ が打ち消し合う。

   $u_{t}=Du_{xx}$

   減衰項は近似的にではなく厳密に消えたので、熱方程式の既知の解がそのまま移せる。

4. 4

   帰着した問題を変数分離で解く。 $u=X(x)T(t)$ と書いて $XT$ で割ると

   $\frac{T'}{T}=D\frac{X''}{X}=-\lambda$

   となるので $T(t)=e^{-\lambda t}$ かつ $X''+\dfrac{\lambda}{D}X=0$ である。$\lambda>0$ なら $X=A\cos\sqrt{\lambda/D}\,x+B\sin\sqrt{\lambda/D}\,x$ となり、許される $\lambda$ は境界条件によって定まる。

5. 5

   分離解の一般形を組み立てる。 置換をもとに戻すと

   $C(x,t)=e^{-kt}\sum_{n}\left(A_{n}\cos\sqrt{\tfrac{\lambda_{n}}{D}}x+B_{n}\sin\sqrt{\tfrac{\lambda_{n}}{D}}x\right)e^{-\lambda_{n}t}$

   となり、係数 $A_{n},B_{n}$ は初期分布 $C(x,0)$ から決まる。

6. 6

   極端な場合で検算する。 $k=0$ なら置換は自明で、方程式はそのまま熱方程式である ✓。$D=0$ なら偏微分方程式は $C_{t}=-kC$ に帰着し、その解 $C=C_{0}e^{-kt}$ は $u$ を定数としたときに置換が予測するものとちょうど一致する ✓。どのモードも $k+\lambda_{n}$ という合成された速さで減衰するので、減衰と拡散は指数の中で単純に足し合わされる。