n → ∞ のときの n² × (1 − cos(2/n)) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   不定形の種類を述べる。 $n\to\infty$のとき$n^2\to\infty$である一方$1-\cos\frac{2}{n}\to 0$なので、積は$\infty\cdot 0$型であり、極限を読み取る前に書き換えなければならない。

2. 2

   小さくなる変数に置換する。 $u=\frac{2}{n}$とおくと$n=\frac{2}{u}$、$u\to 0^+$である。すると$n^2\left(1-\cos\frac{2}{n}\right)=\frac{4}{u^2}\left(1-\cos u\right)=4\cdot\frac{1-\cos u}{u^2}$となる。

3. 3

   対になる標準的な極限を思い出す。 $\lim_{u\to 0}\frac{1-\cos u}{u^2}=\frac{1}{2}$である。これは半角の公式$1-\cos u=2\sin^2\frac{u}{2}$と$\lim\frac{\sin t}{t}=1$から従う。

4. 4

   部品を合わせる。 極限は$4\cdot\frac{1}{2}=2$である。

5. 5

   級数で検算する。 $\cos u=1-\frac{u^2}{2}+O(u^4)$なので$1-\cos\frac{2}{n}\approx\frac{2}{n^2}$であり、$n^2$を掛ければ$2$が残る。

6. 6

   数値による確認。 $n=10^{5}$では式の値は$1.99999999993$となり、極限を裏づけている。