単位立方体 0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1、0 ≤ z ≤ 1 上で xyz の三重積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   積分が分離することを確認する。 6 つの積分限界がすべて定数で、被積分関数は純粋な積 $x \cdot y \cdot z$ であり、各因子は 1 つの変数にしか依存しない。これがまさに、多重積分が 1 変数積分の積に分解される条件である——最後に検算として使う近道でもある。

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   x と y を定数扱いして z について積分する。

   $\int_0^1 xyz\,dz = xy\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^1 = \frac{xy}{2}$

   積分されるのは $z$ だけなので、$xy$ はそのまま持ち越される。

3. 3

   y について積分する。

   $\int_0^1 \frac{xy}{2}\,dy = \frac{x}{2}\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^1 = \frac{x}{4}$

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   x について積分する。

   $\int_0^1 \frac{x}{4}\,dx = \frac{1}{4}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{8}$

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   分離した形で確認する。 積分が分解できるので

   $\int_0^1 \!\! \int_0^1 \!\! \int_0^1 xyz\,dV = \left(\int_0^1 x\,dx\right)\left(\int_0^1 y\,dy\right)\left(\int_0^1 z\,dz\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$

   これは立方体上での $xyz$ の平均値でもある（立方体の体積は $1$）。$x$、$y$、$z$ を独立に一様に選んだときの積の期待値が $\tfrac12 \cdot \tfrac12 \cdot \tfrac12$ になることと一致している。