n → ∞ のときの (−1)ⁿ / n の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   有界な部分と消えていく部分を切り分ける。 分子$(-1)^{n}$にはそもそも極限がない——$-1,1,-1,1,\dots$といつまでも交代する。分母$n$は限りなく大きくなる。有界な量を無限大に向かう量で割れば0に向かうほかなく、言葉にすればこれで議論は尽きている。

2. 2

   絶対値を取って議論を厳密にする。 すべての$n$について$\left|(-1)^{n}\right|=1$なので、

   $\left|\frac{(-1)^{n}}{n}\right|=\frac{1}{n}$

   符号ではなく大きさを測ったとたん、振動は完全に消える。

3. 3

   数列をはさむ。 すべての$n\ge 1$について、

   $-\frac{1}{n}\le\frac{(-1)^{n}}{n}\le\frac{1}{n}$

   であり、両側の評価はどちらも$0$に向かうので、挟まれた数列も同じ極限をもつ。

4. 4

   極限を述べる。

   $\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}=0$

   この数列は$0$の片側に落ち着くことが決してないにもかかわらず収束する：収束が要求するのは項がある値に近づくことであって、決まった向きから近づくことではない。

5. 5

   $(-1)^{n}$単独との対比。 $\tfrac1n$という因子がなければ、この数列に極限はない。項どうしがいつまでも$2$だけ離れたままだからである。収束を救っているのはこの消えていく因子であり、同じ理由から交代調和級数$\sum\frac{(-1)^n}{n}$も交代級数の判定法によって収束する。