x → 0 のときの (1 + 1/x)^(x² / e^x) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   そもそもどこで定義されるかを確認する。 $x<0$が小さいとき底$1+\tfrac1x$は負であり（$x=-0.1$では$-9$）、負の底を任意の実数乗したものは実数の範囲で定義されない。したがって議論できるのは右側極限だけであり、答えには$x\to 0^{+}$という条件を明記しなければならない。

2. 2

   不定形の種類を見きわめる。 $x\to 0^{+}$のとき：

   $1+\frac1x\to+\infty,\qquad \frac{x^2}{e^x}\to\frac{0}{1}=0$

   これは$\infty^{0}$であり、正真正銘の不定形である——底と指数がそれぞれどれだけ速く動くかによって、どんな正の数にもなりうる。

3. 3

   対数を取って累乗を積に変える。 $L=\left(1+\tfrac1x\right)^{x^2/e^x}$とおくと、

   $\ln L=\frac{x^2}{e^x}\ln\left(1+\frac1x\right)$

   対数は$\infty^{0}$、$0^{0}$、$1^{\infty}$のいずれの形にも通用する定石である：底と指数の綱引きを、ただの積に変えてくれる。

4. 4

   対数を評価する。 小さい正の$x$では$1+\tfrac1x\sim\tfrac1x$なので$\ln\left(1+\tfrac1x\right)\sim-\ln x$である。$e^x\to 1$なので積全体は

   $\ln L\sim x^2\ln\frac1x$

   のように振る舞う。

5. 5

   標準的な極限$x^{a}\ln x\to 0$を使う。 $x$の正のべきは対数に必ず勝つ：

   $\lim_{x\to 0^{+}}x^2\ln\frac1x=0\ \Longrightarrow\ \lim_{x\to 0^{+}}\ln L=0$

6. 6

   指数に戻す。 $\ln L\to 0$であり$\exp$は連続なので、

   $\lim_{x\to 0^{+}}L=e^{0}=1$

   数値では$x=0.01$のとき値は$1.000457$、$x=10^{-5}$のとき$1.0000000012$——$1$に収束している ✓。$0$の左側でこの関数が定義されないため、両側極限は存在しない。