n を 0 から無限まで動かしたときの 2^n / n! の無限和を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   和を求める前に収束を確認する。 比の判定法により

   $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^{n}/n!}=\frac{2}{n+1}\longrightarrow 0<1$

   なので、この級数は絶対収束する。実のところ $2$ をどんな底に取り替えても同じで、階乗はいずれ等比的な増大を必ず追い抜く。

2. 2

   既知の展開に当てはめる。 指数関数はマクローリン展開

   $e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!},\qquad \text{すべての実数 }x\text{ で成立}$

   を持つ。与えられた級数はこれに $x=2$ を代入したものそのものなので、和の計算作業は不要である——気づくことがすべてである。

3. 3

   値を読み取る。

   $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}=e^{2}\approx 7.389056$

4. 4

   和の始まりの番号に注意する。 もし $n=1$ から始まるなら、$n=0$ の項 $\tfrac{2^0}{0!}=1$ が抜けることになる。

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}=e^{2}-1\approx 6.389056$

   答えを決めるのはこの一点なので、下端がはっきり書かれていないときは必ず明示しておく価値がある。

5. 5

   部分和で確認する。 最初のいくつかを足すと $1+2+2+1.3333+0.6667+0.2667+0.0889+0.0254=7.3809$ で、すでに $e^2=7.389056$ との差は $0.0082$ 以内である。残りの尾は $\tfrac{2^8}{8!}=0.00635$ が支配しており、観測された差と符合する $\checkmark$。