x → 0 のとき、a × (2 + e^(1/x))/(1 + e^(1/x)) + (1 + |x|)^(1/x) の極限が存在する。a の値を求めよ。

Step-by-step solution

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   なぜ両側で食い違うのかを見抜く。 $e^{1/x}$ も $|x|$ も $0$ の左右でふるまいが異なるので、極限が存在するのは右極限と左極限が等しいときちょうどである。各側を別々に計算してから、両者が一致するよう強制すればよい。

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   右側：$x\to 0^{+}$。 ここでは $\frac1x\to+\infty$ なので $e^{1/x}\to+\infty$ であり、$\frac{2+e^{1/x}}{1+e^{1/x}}\to 1$ となる（分母分子を $e^{1/x}$ で割ればよい）。また $|x|=x$ なので第 2 項は $(1+x)^{1/x}\to e$ である。したがって $L_{+}=a+e$ となる。

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   左側：$x\to 0^{-}$。 今度は $\frac1x\to-\infty$ なので $e^{1/x}\to 0$ であり、$\frac{2+e^{1/x}}{1+e^{1/x}}\to\frac{2}{1}=2.$ となる。また $|x|=-x$ なので第 2 項は $(1-x)^{1/x}$ である。$t=-x\to 0^{+}$ とおけば $(1+t)^{-1/t}\to e^{-1}$ となる。したがって $L_{-}=2a+\dfrac1e$ である。

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   2 つの片側極限を等しいとおく。 $a+e=2a+\frac1e\ \Longrightarrow\ a=e-\frac1e.$

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   共通の値を確かめる。 $a=e-\tfrac1e\approx 2.35040$ とすると、右極限は $a+e\approx 5.06868$、左極限は $2a+\tfrac1e\approx 4.70081+0.36788\approx 5.06868$ である。両者は一致するので、この $a$ に対してのみ極限が存在する。