f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x の導関数を求め、続いて区間 [0, 3] での定積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   各項ごとに微分の公式を使う。 $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$ であり微分は線形なので、各項を別々に扱える：

   $\frac{d}{dx}\left(x^3\right)=3x^2,\qquad \frac{d}{dx}\left(-3x^2\right)=-6x,\qquad \frac{d}{dx}(2x)=2$

   よって

   $f'(x)=3x^2-6x+2$

2. 2

   積分のために原始関数を求める。 微分の公式を逆にたどり、各項の指数を1つ上げて割る：

   $F(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+x^2$

   積分定数を書かないのは意図的である。定積分では引き算で相殺されるので、原始関数は1つ選べば十分だからである。念のため確認すると $F'(x)=x^3-3x^2+2x=f(x)$。

3. 3

   微分積分学の基本定理を使う。

   $\int_0^3 f(x)\,dx=F(3)-F(0)$

   $F(3)=\frac{81}{4}-27+9=\frac{81}{4}-18=\frac{81-72}{4}=\frac{9}{4}$

   $F(0)=0$

   よって積分の値は $\dfrac{9}{4}=2.25$ である。

4. 4

   これは符号付き面積であって、総面積ではないことに注意する。 因数分解すると $f(x)=x(x-1)(x-2)$ なので、曲線は $x=0,1,2$ で軸と交わる。$(0,1)$ で正、$(1,2)$ で負、$(2,3)$ で再び正である。積分はこれらを符号込みで足すので、曲線と軸で囲まれた図形の面積より小さくなる。

5. 5

   根で分割して検算する。 同じ $F$ を使うと：

   $\int_0^1 f=F(1)-F(0)=\frac14,\qquad \int_1^2 f=F(2)-F(1)=0-\frac14=-\frac14,\qquad \int_2^3 f=F(3)-F(2)=\frac94-0=\frac94$

   足すと $\tfrac14-\tfrac14+\tfrac94=\tfrac94$ となり、ステップ3と一致する。（符号なしの面積が必要なら $\tfrac14+\tfrac14+\tfrac94=\tfrac{11}{4}$ になる。）