f が R 全体で 2 回微分可能であるとする。どの ξ に対しても f′(ξ) = (f(x₂) − f(x₁))/(x₂ − x₁) となる x₁, x₂ が存在すると言えるか。証明するか、反例を挙げよ。

Step-by-step solution

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   これは平均値の定理そのものではなく、その逆であることに気づく。 平均値の定理が言うのは、すべての割線の傾きがある導関数の値に等しい、ということである。ここでの主張はその逆で、すべての導関数の値が割線の傾きとして実現される、と言っている。正しい定理の逆には別途の証明——あるいは反例——が要る。

2. 2

   障害を見つける。 微積分学の基本定理により、割線の傾きはどれも導関数の平均である：

   $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}f'(t)\,dt$

   正の長さを持つ区間上での $f'$ の平均が $f'$ の上限を超えることはなく、上限に等しくなるのはその区間で $f'$ が定数のときだけである。したがって $f'$ がただ 1 点 $\xi$ で狭義の最大値をとるなら、その値 $f'(\xi)$ が割線の傾きになることは決してない。

3. 3

   反例を挙げる。

   $f(x)=\arctan x,\qquad f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}},\qquad f''(x)=\frac{-2x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}$

   とする。この $f$ は $\mathbb{R}$ 全体で 2 回（実際には無限回）微分可能であり、条件を満たしている。

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   値 f′(0) = 1 が実現不可能であることを示す。 任意の $x_1<x_2$ に対して

   $\frac{\arctan x_2-\arctan x_1}{x_2-x_1}=\frac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}\frac{dt}{1+t^{2}}<\frac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}1\,dt=1$

   が成り立つ。不等号が狭義なのは、$t\neq 0$ のすべてで $\tfrac{1}{1+t^{2}}<1$ であり、1 点だけでは 2 つの積分を等しくできないからである。よってどの割線の傾きも $1=f'(0)$ には到達しない。

   $\boxed{\text{この主張は偽。}f(x)=\arctan x\text{、}\xi=0\text{ が反例である}}$

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   数値で確認する。 $\arctan$ の割線の傾きが最大に近づくのは、$0$ をまたぐ短い区間である。$[-h,h]$ での傾きは $\tfrac{2\arctan h}{2h}=\tfrac{\arctan h}{h}$ であり、$h=0.1$ で $0.9967$、$h=0.01$ で $0.99997$ ——$1$ に近づくが決して達しない。

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   主張が成り立つ場合にも触れておく。 $f'$ が $\xi$ でとる値が孤立した極値以外のところでも実現される場合——たとえば $f'$ が単調である場合や、$f'(\xi)$ が $\inf f'$ と $\sup f'$ の狭義の間にある場合——には、割線の傾きを表す関数に中間値の定理を当てれば適切な $x_1,x_2$ が得られる。破綻するのは、$f'$ が狭義の最大・最小をとる点での値に限られる。