関数 f(x) = e^(−αx)·cos(x) を調べよ。x = 0 での値、振動の周期、包絡線、そして α の符号によって挙動がどう変わるかを求めよ。

Step-by-step solution

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   振幅の因子と振動の因子に分けて見る。 一般の減衰振動 $Ae^{-\alpha x}\cos(kx + \phi)$ と比べると、ここでは $A = 1$、$k = 1$、$\phi = 0$ である。指数関数が振れの大きさを支配し、余弦が振れの速さを支配する。どちらの因子も相手の役割には干渉しない。

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   原点での値を求める。

   $f(0) = e^{0}\cos(0) = 1 \times 1 = 1$

   つまり曲線は、$\alpha$ が何であってもとりうる最大の振幅から出発する。

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   振動の周期を求める。 零点や極値の並び方は $\cos x$ が繰り返すのと同じ周期で繰り返すので

   $T = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$

   となる。厳密には $\alpha = 0$ でない限り関数そのものは周期的でない——並び方は繰り返すが、大きさは繰り返さない。

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   包絡線を導く。 $-1 \le \cos x \le 1$ であり $e^{-\alpha x} > 0$ なので、全体に掛けても不等号の向きは変わらない：

   $-e^{-\alpha x} \le e^{-\alpha x}\cos x \le e^{-\alpha x}$

   したがってグラフは $y = e^{-\alpha x}$ と $y = -e^{-\alpha x}$ に挟まれ、$x = n\pi$ で交互に一方に接する。

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   α の符号で場合分けする。 $\alpha > 0$ なら $x \to \infty$ のとき $e^{-\alpha x} \to 0$ となり、振動はゼロへ減衰する——不足減衰の状況である。$\alpha = 0$ なら関数はちょうど $\cos x$ で、減衰せず正真正銘の周期関数になる。$\alpha < 0$ なら包絡線が増大し、振動は発散する。

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   包絡線との接点を確かめる。 $x = 0$ では $f = 1$ で、上側の包絡線も $e^0 = 1$ なので接している。$x = \pi$ では $\cos\pi = -1$ なので $f(\pi) = -e^{-\alpha\pi}$ となり、下側の包絡線に接する。$\alpha = 0.2$ のときは $f(\pi) = -0.533488$ であり、連続する極値は半周期ごとに一定の比 $e^{-0.2\pi} = 0.533488$ で縮んでいく——これこそ指数減衰の特徴である。