n を 1 から無限大まで動かしたときの x^n / n^2 の和を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず収束半径を求める。 比判定法より

   $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\left|x\right|\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}\to\left|x\right|$

   なので、級数は $\left|x\right|<1$ で収束する。端点でも収束する。$x=1$ では $p=2$ の $p$ 級数であり、$x=-1$ では絶対収束する。したがって和の定義域は閉区間 $\left|x\right|\le 1$ である。

2. 2

   等比級数から 2 回積分して組み立てる。 $\sum_{n\ge 1}x^{n-1}=\dfrac{1}{1-x}$ から出発して 1 回積分すると

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=-\ln(1-x)$

   が得られる。これを $x$ で割ってもう一度積分すると、分母に $n$ がもう 1 つ入る。

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^{2}}=-\int_{0}^{x}\frac{\ln(1-t)}{t}\,dt$

3. 3

   この積分に初等的な閉じた形がないことを認める。 $\sum x^{n}/n$ とは違い、2 回目の原始関数は初等関数では表せない。そこで数学者はこれに名前を付けた——二重対数関数である。

   $\operatorname{Li}_{2}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^{2}}=-\int_{0}^{x}\frac{\ln(1-t)}{t}\,dt$

   名前を付けるのが正直な答えであり、$\int e^{-x^{2}}dx$ に対する誤差関数とまったく同じ事情である。

4. 4

   2 つの特別な値を読み取る。 $x=1$ では級数はバーゼル問題の和になる。

   $\operatorname{Li}_{2}(1)=\frac{\pi^{2}}{6}$

   $x=-1$ では交代版になり、値は半分になって符号が反転する。

   $\operatorname{Li}_{2}(-1)=-\frac{\pi^{2}}{12}$

5. 5

   3 つ目の既知の値を数値で確認する。 $x=\tfrac12$ では古典的な恒等式 $\operatorname{Li}_{2}\!\left(\tfrac12\right)=\dfrac{\pi^{2}}{12}-\dfrac{\ln^{2}2}{2}$ がある。級数の 200 項を足すと $0.58224052646$、閉じた形からは $0.58224052647$ となる ✓——級数と命名の慣習の両方が確かめられる。