x が正の無限大に近づくときの、ln(1 + 2^x) かける ln(1 + 2/x) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   不定形の型を見きわめる。 $x\to+\infty$ のとき第1因子は $\ln(1+2^x)\to+\infty$、第2因子は $\ln\left(1+\tfrac{2}{x}\right)\to\ln 1=0$ である。積は $\infty\cdot 0$ の型なので値は何にでもなりうる。2つの因子を互いに比べて測らなければならない。

2. 2

   増大する因子を主要部で置き換える。 対数の中から $2^x$ をくくり出す：

   $\ln(1+2^x)=\ln\left[2^x\left(1+2^{-x}\right)\right]=x\ln 2+\ln\left(1+2^{-x}\right)$

   補正項は $\ln(1+2^{-x})\to 0$ なので、

   $\frac{\ln(1+2^x)}{x\ln 2}\to 1,\qquad\text{すなわち}\qquad \ln(1+2^x)\sim x\ln 2$

   感覚で済ませずに厳密な等式を書き下すことが、この同値性を正当化している。

3. 3

   消えていく因子を1次近似で置き換える。 $t=\tfrac{2}{x}\to 0$ とすると、標準的な同値関係 $\ln(1+t)\sim t$ から

   $\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\sim\frac{2}{x}$

   が得られる。これは $\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1$、すなわち $t=0$ における $\ln(1+t)$ の微分係数からそのまま出る。

4. 4

   2つの同値関係を掛け合わせる。 漸近同値は掛け算で保たれるので、

   $\ln(1+2^x)\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\sim (x\ln 2)\cdot\frac{2}{x}=2\ln 2$

   $x$ がちょうど約分される。対数が1次で増え、もう一方が $1/x$ のように減るので、積は有限の定数に落ち着く。

5. 5

   結論と値。

   $\boxed{\lim_{x\to+\infty}\ln(1+2^x)\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)=2\ln 2=\ln 4\approx 1.3863}$

6. 6

   収束の様子を数値で確かめる。 $x=100$ では積は $1.37261$、$x=1000$ では $1.38491$、$x=10^4$ では $1.386156$ となり、$2\ln 2=1.386294$ にじりじりと近づいていく。近づき方が遅い（誤差は $1/x$ の程度）のは、捨てた項から予想される通りである。