x が無限大に近づくときの 3 の極限を求めよ。

Step-by-step solution

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   関数を見きわめる。 極限の中の式には $x$ がまったく含まれていないので、これは定数関数 $f(x)=3$ である。そのグラフは高さ $3$ の水平な直線である。

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   定数に対する極限の法則を使う。 任意の定数 $c$ に対し、近づけ方が有限の点でも無限大でも

   $\lim_{x\to a}c=c$

   が成り立つ。入力が動いても関数の出力が変わらないからである。

3. 3

   結論する。

   $\lim_{x\to\infty}3=3$

4. 4

   定義に照らして確かめる。 無限大での極限が $L$ であるとは、任意の $\varepsilon>0$ に対してある $M$ が存在し、$x>M$ のとき $|f(x)-L|<\varepsilon$ となることをいう。ここではすべての $x$ について $|3-3|=0<\varepsilon$ なので、どんな $M$ でもよい——条件は自明に満たされる。

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   よくある混同に注意する。 答えは $\infty$ ではない。限りなく大きくなるのは入力のほうであって、出力ではない。定義されないわけでもない——定数はもっとも行儀のよい関数の部類である。$\lim_{x\to\infty}\tfrac{3x+1}{x}=3$ と比べてみるとよい。こちらも $3$ に等しいが理由は本質的に異なる。あちらは関数が $3$ へ向かって動いていくのに対し、こちらは最初から最後まで $3$ に留まっている。