次の各極限を求めよ：x → 1 での 25、x → 10 での 3x²、x → 3 での 2x⁴ − x²、x → 1 での (x³ + 2)⁶、x → 3 での |−15x + 4|。

Step-by-step solution

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   何よりも先に連続性を確認する。 直接代入が使えるのは、その点で関数が連続であるときに限る。多項式はいたるところ連続であり、多項式の絶対値もいたるところ連続、定数は自明に連続である。したがってここでの 5 つの極限はどれも単なる関数値になる。解消すべき $0/0$ は現れない。

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   極限 1：定数関数。 $f(x) = 25$ はまったく変化しないので、$x = 1$ に近づけても何も変わらない：

   $\lim_{x\to 1} 25 = 25$

   極限の記号に $x$ が現れているからといって、関数の中に $x$ が現れているとは限らない。

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   極限 2 と 3：多項式。 指数の扱いに注意しながら代入して計算する：

   $\lim_{x\to 10} 3x^2 = 3(10)^2 = 3(100) = 300$

   $\lim_{x\to 3} (2x^4 - x^2) = 2(81) - 9 = 162 - 9 = 153$

   $3(10)^2 = 300$ であって $(3\cdot 10)^2 = 900$ ではないことに注意する。係数は 2 乗されない。

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   極限 4：多項式のべき。 中身を先に計算してから累乗する：

   $\lim_{x\to 1} (x^3+2)^6 = (1+2)^6 = 3^6 = 729$

   これは極限の合成に関する法則を使っている。外側の関数 $u^6$ が連続なので正当化される。

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   極限 5：絶対値。 中身を計算してから絶対値をとる：

   $\lim_{x\to 3} |-15x+4| = |-45+4| = |-41| = 41$

   結果は $+41$ である。絶対値が負になることはない。絶対値関数には角があるが、角があっても連続性は壊れないので代入は依然として正当である。そもそもこの角は $x = \tfrac{4}{15}$ にあり、$x = 3$ からは遠く離れている。

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   まとめて検証する。 5 つの値は $25$、$300$、$153$、$729$、$41$ である。いずれも数式処理系の極限計算で再確認しており、連続性が保証するとおり、どれも目標の点における素直な関数値に等しい。