Σ を球面 x² + y² + z² = 2 の下半分とし、内側向きとする。(x² + xz) dy dz + (y² + yz) dz dx + (2z² + 1) dx dy の面積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   流束として読み替える。 この積分は $\mathbf{F}=(x^2+xz,\;y^2+yz,\;2z^2+1)$ に対する $\iint_\Sigma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$ である。$\Sigma$ は閉じていないので、発散定理を使うにはふたが要る。

2. 2

   平らな円板で曲面を閉じる。 $D:\{x^2+y^2\le 2,\ z=0\}$ を付け加える。$\Sigma$ と $D$ を合わせると下半球体 $V$ の境界になる。この閉じた境界上で、外向き法線は $\Sigma$ では下・外を向き、$D$ では上（$+\mathbf{k}$）を向く。

3. 3

   ガウスの定理を適用する。 $\nabla\cdot\mathbf{F}=(2x+z)+(2y+z)+4z=2x+2y+6z$ である。$V$ は $x$ についても $y$ についても対称なので $2x$ と $2y$ の部分は積分すると 0 になり、 $\iint_{\partial V,\text{out}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=6\iiint_V z\,dV.$ が残る。

4. 4

   残った三重積分を計算する。 $0\le\rho\le\sqrt2$、$\tfrac\pi2\le\varphi\le\pi$ の球座標で、 $\iiint_V z\,dV=2\pi\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\int_0^{\sqrt2}\rho^3\,d\rho=2\pi\left(-\frac12\right)(1)=-\pi,$ となるので、閉曲面の外向き流束は $6(-\pi)=-6\pi$ である。

5. 5

   円板ぶんを引く。 $D$ 上では $z=0$ なので $dy\,dz$ と $dz\,dx$ は何も寄与せず、第 3 成分は $2(0)^2+1=1$ になる。したがって上向きの流束は円板の面積そのもので $\pi(\sqrt2)^2=2\pi$ である。よって $\Sigma$ を通る外向きの流束は $-6\pi-2\pi=-8\pi$ となる。

6. 6

   内側向きに反転する。 問題が求めているのは内側向きであり、これは法線を逆にすることに等しい： $\iint_{\Sigma,\text{inner}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=-(-8\pi)=8\pi.$ したがって空欄に入るのは $8$ である。