関数 f(x) = (mx - 4)/(x - m) が区間 (0, 無限大) で増加になるような整数 m は何個あるか。

Step-by-step solution

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   商の微分法で微分し、分子が潰れることを見る。

   $f'(x)=\frac{m(x-m)-(mx-4)\cdot 1}{(x-m)^2}=\frac{mx-m^2-mx+4}{(x-m)^2}=\frac{4-m^2}{(x-m)^2}$

   $x$ の項が消えるので、$f'$ の分子は定数になる。これは $\frac{ax+b}{cx+d}$ に共通する性質で、導関数の符号は $ad-bc$ で決まり、1つの枝の内部では決して変わらない。

2. 2

   $f'$ の符号を $m$ についての条件に直す。 分母 $(x-m)^2$ は $f$ が定義される場所ではつねに正なので、

   $f'(x)>0\iff 4-m^2>0\iff -2<m<2.$

   端点は含めてはならない。$m=\pm2$ では $f'\equiv0$ となり、実際 $f$ は定数 $2$ または $-2$ に潰れる（たとえば $m=2$ なら $\frac{2x-4}{x-2}=2$）。これは増加ではない。

3. 3

   区間が1つの枝の中に収まるという条件を追加する。 導関数が正であることが保証するのは、定義域の連結した各部分の上で関数が増加することだけである。点 $x=m$ は垂直漸近線であり、それが $(0,+\infty)$ の内部に入ると関数はそこで $+\infty$ から $-\infty$ へ飛ぶので、区間全体では増加にならない。したがって

   $m\notin(0,+\infty)\quad\Longleftrightarrow\quad m\le 0.$

   も必要になる。

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   $m=1$ で失敗する様子を具体的に見る。 このとき $f(x)=\frac{x-4}{x-1}$ で、$f(0.5)=7$ なのに $f(2)=-2$ である。$x=1$ の両側で導関数は正だが、漸近線をまたぐと関数の値は減っている。まさにこの追加条件が防ごうとしている落とし穴である。

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   2つの条件の共通部分を取る。

   $-2<m<2\quad\text{かつ}\quad m\le 0\qquad\Longrightarrow\qquad -2<m\le 0$

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   整数を数える。 $(-2,\,0]$ に含まれる整数は $m=-1$ と $m=0$ なので、全部で $\mathbf{2}$ 個である。$m=0$ で簡単に確かめると $f(x)=-\frac{4}{x}$ で、$(0,\infty)$ 上で $-\infty$ から $0$ に向かって上がっていく。確かに増加である。