0 ≤ x ≤ 2π、π/2 ≤ y ≤ π、0 ≤ z ≤ a の直方体上で (3a·z²·sin y + 2z³·sin y·cos y) の三重積分を求めよ。ただし a は正の定数とする。

Step-by-step solution

1. 1

   現れない変数を利用する。 被積分関数には $x$ がまったく含まれず、$x$ の積分範囲も定数である。したがって最外の積分は区間の長さを掛けるだけの寄与しかしない。

   $I=2\pi\int_{\pi/2}^{\pi}\!\int_{0}^{a}\bigl(3az^{2}\sin y+2z^{3}\sin y\cos y\bigr)\,dz\,dy.$

   これを最初に見抜けば、本題に入る前に変数が 1 つ丸ごと消える。

2. 2

   $\sin y$ と $\cos y$ を定数扱いして $z$ について積分する。 どちらの項も $z$ の純粋なべきである。

   $\int_{0}^{a}3az^{2}\,dz=3a\cdot\frac{a^{3}}{3}=a^{4},\qquad \int_{0}^{a}2z^{3}\,dz=2\cdot\frac{a^{4}}{4}=\frac{a^{4}}{2}.$

   よって内側の積分は

   $a^{4}\sin y+\frac{a^{4}}{2}\sin y\cos y=a^{4}\Bigl(\sin y+\tfrac12\sin y\cos y\Bigr).$

   となる。パラメータ $a$ が $a^{4}$ として完全にくくり出される点に注意したい——答えは $a^{4}$ に比例するはずである。

3. 3

   三角関数の第 1 項を $[\pi/2,\pi]$ 上で積分する。

   $\int_{\pi/2}^{\pi}\sin y\,dy=\bigl[-\cos y\bigr]_{\pi/2}^{\pi}=-(-1)-(0)=1.$

4. 4

   第 2 項は置換積分で処理する。 $u=\cos y$ とおくと $du=-\sin y\,dy$ なので $\int\sin y\cos y\,dy=-\tfrac{u^{2}}{2}=-\tfrac{\cos^{2}y}{2}$。よって

   $\frac12\int_{\pi/2}^{\pi}\sin y\cos y\,dy=\frac12\left[-\frac{\cos^{2}y}{2}\right]_{\pi/2}^{\pi}=-\frac14\bigl(1-0\bigr)=-\frac14.$

   負号は予想どおりである。$(\pi/2,\pi)$ 上でサインは正だがコサインは負なので、その積の積分は負になる。

5. 5

   3 つの因子を掛け合わせる。 $y$ の積分は $1-\tfrac14=\tfrac34$ なので

   $I=2\pi\cdot a^{4}\cdot\frac34=\frac{3\pi a^{4}}{2}.$

   $a=2$ を代入してもとの三重積分を適応型の数値求積で計算すると $75.398224$ が返り、$\tfrac32\pi\cdot 2^{4}=24\pi=75.398224$ と一致する。