x が 2 に近づくときの (x^2 - 3x + 2) / (root(5 - x) - root(x + 1)) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

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   不定形であることを確認する。 $x=2$ を代入すると、分子は $4-6+2=0$、分母は $\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$ である。つまりこの式は $\tfrac00$ 型で、この時点では値が定まらない。しかし同じ点で 0 になるということは、両方に共通因子 $(x-2)$ が隠れていて約分を待っている、ということでもある。

2. 2

   分子を因数分解する。 積が $2$、和が $-3$ になる 2 数は $-1$ と $-2$ である。

   $x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)$

3. 3

   分母を共役式で有理化する。 分子と分母に $\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1}$ を掛けると、根号の差が平方の差に変わる。

   $\left(\sqrt{5-x}-\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1}\right)=(5-x)-(x+1)=4-2x$

   根号は完全に消え、厄介な零点をはっきり含む 1 次式が残る。$4-2x=-2(x-2)$ である。

4. 4

   共通因子を約分する。 式は

   $\frac{(x-1)(x-2)\left(\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1}\right)}{-2(x-2)}=-\frac{(x-1)\left(\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1}\right)}{2}$

   となり、$x\neq2$ で正しい——極限に必要なのはそれだけである。極限が記述するのは点そのものではなく点の近くでのふるまいだからである。この代数的な形は $x=1.5,1.9,2.1,2.5$ でもとの式と $10^{-9}$ の精度まで一致することを確認済みである ✓。

5. 5

   特異性が消えたので直接代入する。 簡約した関数は $x=2$ で連続である。

   $-\frac{(2-1)\left(\sqrt{3}+\sqrt{3}\right)}{2}=-\frac{2\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}$

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   両側から数値で検算する。 $x=2\pm10^{-7}$ でもとの商を計算すると $-1.73205098$ と $-1.73205063$ になり、$-\sqrt{3}=-1.7320508$ を挟んでいる ✓。両側が一致することから極限が存在し、その値が次であることが確かめられる。

   $-\sqrt{3}\approx-1.7321$