放物面 x^2 + y^2 = 2z の内側で、平面 z = 2 と z = 8 に挟まれた立体上で、x^2 + y^2 の三重積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   被積分関数が $r^2$ であることに気づく。 $x^2+y^2$ という組み合わせはまさに円柱座標の半径の 2 乗なので、円柱座標が自然な選択になる。被積分関数は $r$ の 1 つのべきになり、角度依存性は一切なくなる。

   $x^2+y^2=r^2,\qquad dV=r\,dr\,d\theta\,dz$

   この量は立体の $z$ 軸まわりの慣性モーメントの被積分関数でもあり、頻出するのはそのためである。

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   水平な断面で積分限界を立てる。 放物面の内側にあることは $z=\tfrac{r^2}{2}$ より $r\le\sqrt{2z}$ を意味し、2 つの平面が $z$ を $2$ から $8$ に区切る。

   $\iiint_E\left(x^2+y^2\right)dV=\int_2^8\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\sqrt{2z}} r^2\cdot r\,dr\,d\theta\,dz=\int_2^8\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\sqrt{2z}} r^3\,dr\,d\theta\,dz$

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   動径方向に積分する。 高さ $z$ を固定すると

   $\int_0^{\sqrt{2z}} r^3\,dr=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^{\sqrt{2z}}=\frac{(2z)^2}{4}=z^2$

   となる。$(2z)^2/4$ がちょうど $z^2$ にまとまるのは $x^2+y^2=2z$ の係数 $2$ に仕込まれた小さな幸運で、これで残りの計算が容易になる。

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   角度、続いて高さを掃く。 $\theta$ には何も依存しないので、その積分は因子 $2\pi$ を与えるだけである。

   $\int_2^8\!\!\int_0^{2\pi} z^2\,d\theta\,dz=2\pi\int_2^8 z^2\,dz=2\pi\left[\frac{z^3}{3}\right]_2^8=2\pi\cdot\frac{512-8}{3}=2\pi\cdot 168$

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   答えを述べ、体積と照らして確かめる。

   $\iiint_E\left(x^2+y^2\right)dV=336\pi\approx 1055.6$

   妥当性の簡単な確認として、同じ立体の体積は $\int_2^8 \pi(2z)\,dz=\pi(64-4)=60\pi$ なので、立体上での $x^2+y^2$ の平均値は $\tfrac{336\pi}{60\pi}=5.6$ となる。半径が $2$ から $4$ まで変化する領域の平均 2 乗半径として、無理のない値である。