a > 0 として、ln(x + sqrt(a + x^2)) を逆双曲線正弦を用いて書き直せ。

Step-by-step solution

1. 1

   この形のどこが違うのかに注目する。 標準的な恒等式

   $\operatorname{arsinh}(u)=\ln\left(u+\sqrt{u^{2}+1}\right)$

   では根号の中の定数が $1$ であることが前提である。ここでの定数は $a^{2}$ ではなく $a$ そのものなので、それを 1 に直すスケール因子は $a$ ではなく $\sqrt a$ になる——この 1 点の違いが最後の加法定数を変える。

2. 2

   根号から $a$ をくくり出す。 $a>0$ に対して

   $\sqrt{x^{2}+a}=\sqrt{a\left(\frac{x^{2}}{a}+1\right)}=\sqrt a\,\sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)^{2}+1}$

   となる。ここで $\dfrac{x^{2}}{a}=\left(\dfrac{x}{\sqrt a}\right)^{2}$ と書いて必要な形を露わにしている。

3. 3

   引数全体から $\sqrt a$ をくくり出す。

   $x+\sqrt{x^{2}+a}=\sqrt a\left(\frac{x}{\sqrt a}+\sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)^{2}+1}\right)$

   括弧の中は、$u=\dfrac{x}{\sqrt a}$ とした arsinh の恒等式の引数そのものである。

4. 4

   積の対数を分ける。 $\ln(MN)=\ln M+\ln N$ を使うと

   $\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+a}\right)=\ln\sqrt a+\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)$

   となる。

5. 5

   定数を簡単にする。 $\ln\sqrt a=\ln a^{1/2}=\tfrac12\ln a$ なので

   $\ln\left(x+\sqrt{a+x^{2}}\right)=\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)+\frac12\ln a$

   となる。定数が丸ごと $\ln a$ になる $a^{2}$ の版と比べてみるとよい。根号の中の指数が半分になれば、対数も半分になる。

6. 6

   数値で検証する。 $a=2.7$、$x=1.3$ とすると、左辺は $\ln\left(1.3+\sqrt{2.7+1.69}\right)=1.2223723$ であり、$\operatorname{arsinh}\left(1.3/1.64317\right)+\tfrac12\ln 2.7=0.72575+0.49663=1.2223723$ となって一致する ✓。