式 a*x + b について、a についての偏微分と b についての偏微分を求めよ。

Step-by-step solution

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   どの記号を固定するかを決める。 偏微分では 1 つの変数について微分し、それ以外のすべての記号を定数として扱う。ここでは式に $a$、$b$、$x$ の 3 つの記号が含まれているので、どれが「変数」なのかは設問ごとに変わる——そしてこの問題ではどちらの設問でも $x$ は定数である。

2. 2

   $a$ について微分する。 $x$ と $b$ を定数として扱うと、項 $ax$ は $a$ の定数倍であり、$b$ は純粋な定数である。

   $\frac{\partial}{\partial a}(ax)=x,\qquad \frac{\partial}{\partial a}(b)=0,$

   $\frac{\partial f}{\partial a}=x.$

   答えは $x$ であって、$1$ でも $ax$ でもない。$ax$ を $a$ で微分すると $a$ の係数、すなわち $x$ が残るからである。

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   $b$ について微分する。 今度は $a$ と $x$ が固定されるので、積 $ax$ 全体が定数になる。

   $\frac{\partial}{\partial b}(ax)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial b}(b)=1,$

   $\frac{\partial f}{\partial b}=1.$

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   $x$ による微分と対比する。 参考までに $\frac{\partial f}{\partial x}=a$ である——同じ式でも、どの記号を変数とするかで 3 通りの異なる答えが出る。3 つを並べて比べるのが、「他を定数に保つ」ということの意味を体得する最短の道である。

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   結果の意味を読む。 データに当てはめる直線モデル $y=ax+b$ において、この 2 つの偏微分はまさに最小二乗法が使う勾配の成分である。傾き $a$ をわずかに変えると予測値はその $x$ 倍だけ動き、切片 $b$ を変えるとすべての予測値が同じだけ、$1$ に対して $1$ の割合で動く。原点から遠いデータ点が傾きの推定を支配するのは、このためである。