x⁵ / √(x² + 1) の不定積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   $x$の指数が奇数であることを利用する。 指数$5$が奇数なので、$x$を1つ$dx$と組ませて$du$を作ることができ、残る$x^{4}$は偶数乗なので完全に$x^{2}$の式で書ける。$u=x^{2}+1$がここでは効くのに偶数乗では効かない理由は、まさにこれである。

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   置換を用意する。

   $u=x^{2}+1\ \Longrightarrow\ du=2x\,dx\ \Longrightarrow\ x\,dx=\tfrac12\,du,\qquad x^{2}=u-1$

   したがって

   $x^{5}dx=\left(x^{2}\right)^{2}\cdot x\,dx=(u-1)^{2}\cdot\tfrac12\,du$

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   積分全体を$u$で書き直す。

   $\int\frac{x^{5}}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\frac12\int\frac{(u-1)^{2}}{\sqrt u}\,du=\frac12\int\left(u^{3/2}-2u^{1/2}+u^{-1/2}\right)du$

   $(u-1)^2=u^2-2u+1$と展開して各項を$u^{1/2}$で割ると、指数がそれぞれ$\tfrac12$だけ下がる。

4. 4

   公式$\int u^{p}du=\frac{u^{p+1}}{p+1}$で各べき乗を積分する。

   $\int u^{3/2}du=\tfrac25u^{5/2},\qquad \int u^{1/2}du=\tfrac23u^{3/2},\qquad \int u^{-1/2}du=2u^{1/2}$

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   まとめて外の2分の1を処理する。

   $\frac12\left(\frac25u^{5/2}-\frac43u^{3/2}+2u^{1/2}\right)=\frac15u^{5/2}-\frac23u^{3/2}+u^{1/2}$

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   もとの変数に戻して検算する。

   $\int\frac{x^{5}}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\frac15\left(x^{2}+1\right)^{5/2}-\frac23\left(x^{2}+1\right)^{3/2}+\left(x^{2}+1\right)^{1/2}+C$

   これを$x=1.3$で数値微分すると$2.263813$となり、同じ点での被積分関数も$2.263813$である ✓。