x → +∞ のときの 9 − x² の極限を求めよ。

Step-by-step solution

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   最高次の項が見えるように書き直す。 並べ替えると$9-x^2=-x^2+9$であり、これは最高次係数が$-1$の2次式である。無限大での競争では常に2次の項が勝つので、その符号が答えを決める。

2. 2

   最高次の項を評価する。 $x\to\infty$のとき$x^2\to+\infty$なので、

   $-x^2\to-\infty$

   前についているマイナス符号が要である——$x^2$だけを見て$+\infty$と答えてしまう人が少なくない。

3. 3

   定数を足す。 あらゆる限界を下回っていく量に一定の$9$を足しても、発散の様子は何も変わらない：

   $9-x^2\to-\infty$

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   数値で確認する。 $x=10$では$9-100=-91$、$x=100$では$-9991$、$x=1000$では$-999991$。出力は限りなく減少していく。

5. 5

   グラフと結びつける。 $y=9-x^2$は頂点$(0,9)$で上に凸の放物線なので、両側の腕がどこまでも下がっていく。実際$\lim_{x\to-\infty}(9-x^2)=-\infty$も成り立つ。極限は$-\infty$であり、これはこの関数が有限の値に落ち着かず発散することを意味する。