h(x) = (2x + 1)⁵(x² − 1)³ を微分し、結果を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   積の微分法の形に置く。 この関数は 2 つの合成べきの積なので、次のように書く：

   $u = (2x+1)^5, \qquad v = \left(x^2-1\right)^3, \qquad h' = u'v + uv'$

   先に $h$ を展開すると 11 次の多項式になってしまう。積の微分法なら因数分解された形のまま進めるので、最後の整理が可能になる。

2. 2

   各因子を合成関数の微分で処理する。 外側の導関数に内側の導関数を掛ける：

   $u' = 5(2x+1)^4 \cdot 2 = 10(2x+1)^4$

   $v' = 3\left(x^2-1\right)^2 \cdot 2x = 6x\left(x^2-1\right)^2$

   内側の導関数 $2$ と $2x$ こそ、合成関数の微分でつまずきやすいところである。

3. 3

   2 つの項を組み立てる。

   $h'(x) = 10(2x+1)^4\left(x^2-1\right)^3 + 6x(2x+1)^5\left(x^2-1\right)^2$

   どちらの項も $h$ からどちらか一方の因子の指数を 1 だけ落とした形なので、共通因子が必ず存在する。

4. 4

   各かっこの最低次のべきをくくり出す。 どちらの項も $(2x+1)^4$ と $\left(x^2-1\right)^2$ を含む：

   $h'(x) = (2x+1)^4\left(x^2-1\right)^2\Big[10\left(x^2-1\right) + 6x(2x+1)\Big]$

5. 5

   かっこの中を整理し、数の因子を外に出す。

   $10x^2 - 10 + 12x^2 + 6x = 22x^2 + 6x - 10 = 2\left(11x^2 + 3x - 5\right)$

   $h'(x) = 2(2x+1)^4\left(x^2-1\right)^2\left(11x^2+3x-5\right)$

   最後の 2 次式の判別式は $9 + 220 = 229$ で平方数ではないので、有理数の範囲ではこれ以上因数分解できない。

6. 6

   数値で確認し、臨界点を読み取る。 $x = 0$ での中心差分は $h'(0) \approx -10.000$ となり、$2(1)(1)(-5) = -10$ と一致する。同じ確認を $x = 0.3,\ 1.7,\ -2.1$ で行っても有効数字 6 桁まで合う。$h'$ の零点は $x = -\tfrac12$、$x = \pm 1$（重複因子から出るもので、これらは $h$ の零点でもある）、および $x = \frac{-3 \pm \sqrt{229}}{22}$ である。